Diagrama de Venn
Diagramas de Venn que corresponden respectivamente a las relaciones topológicas de unión, inclusión y disyunción entre dos conjuntos
Los
diagramas de Vennson esquemas usados en la, tema de interés en,y. Estos diagramas muestran colecciones (
conjuntos) de cosas (
elementos) a través de líneas cerradas. La línea cerrada exterior engloba a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal
U.
Los diagramas de Venn fueron concebidos cara 1880 por.
Introducción
Con los diagramas de Venn es posible representar las relaciones de intersección, inclusión y disyunción sin cambiar la posición relativa de los conjuntos
Intersección
Dado que los conjuntos pueden tener elementos comunes, las regiones encerradas por sus líneas límite se superponen. El conjunto de los elementos que pertenecen simultáneamente a otros dos es la
intersecciónde los dos.
Intersección = 1, 3
Si todos los elementos de un conjunto son una parte de los elementos de otro, diríase que el primero es un
subconjuntodel segundo o que
está incluidoen el segundo.
En los diagramas de Venn, todas y cada una de las zonas de superposición posibles han de ser representadas. Y, cuando hay regiones que no poseen elementos (
regiones vacías), la situación se señala anulándolas (con un color de fondo diferente).
Cuando los conjuntos no tienen elementos comunes, la región de superposición queda vacía.
A la izquierda de los diagramas, las definiciones de los conjuntos
por enumeracióny
por comprensión.
Orígenes y también historia
Vitral del comedor del Caius College (Cambridge) en homenaje a John Venn y su creación
Los diagramas de Venn tienen el nombre de su creador,, matemático y filósofo británico.
Estudiante y más tarde profesor del Caius College de la, Venn desarrolló su producción intelectual en ese ámbito.
Los diagramas que el día de hoy conocemos fueron presentados en julio de 1880 en el trabajo titulado
De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos,
que tuvo gran repercusión en el planeta de la lógica formal. Los diagramas de Venn tienen múltiples antecedentes. La primera representación gráfica de deducciones lógicas —y, particularmente, de— se atribuye comúnmente a. Variaciones de exactamente la misma fueron empleadas entonces pory, mas fue el gran matemático suizoquien primero introdujo una notación clara y fácil.
El próximo diagrama muestra de otro modo la relación de inclusión del ejemplo dado en la introducción.
Los diagramas de Euler se distinguen de los de Venn en 2 aspectos:
- en ellos no aparecen las regiones vacías y
- el conjunto universal no se representa.
Si bien fue Venn quien introdujo la expresión «», él nunca representó al universal en sus trabajos.
Por eso la idea de conjunto universal se atribuye frecuentemente a Converses Dodgson, más conocido como, el lógico y autor de cuentos para niños que.
El conjunto universal fue cuestionado por, quien mostró que con tal término la teoría de conjuntos resultaba inconsistente (véase). aprender marketing digital , dicha definición fue rescatada y incluso justificada en unaque distingue al universal del(universo del discurso).
Por las dos razones recién mencionadas, los diagramas de Venn llegaron a convertirse en el nuevo estándar para la formalización de operaciones lógicas y los sistemas de representación anteriores cayeron en desuso.
Tiempo después de la aparición del primer artículo, Venn desarrolló algo más su nuevo sistema en el libro
Lógica simbólica, publicado en 1881 y cuyo propósito era interpretar y repasar los trabajos de Boole en el campo de la lógica formal. Este libro sirvió sobre todo para presentar ejemplos del uso de los diagramas.
Otro libro de Venn que ayudó a difundir el nuevo sistema de representación fue el titulado
Los principios de la lógica empírica o bien inductiva, publicado en mil ochocientos ochenta y nueve.
La primera perseverancia escrita del empleo de la expresión «diagrama de Venn» es muy tardía (1918) y se halla en el libro
A Survey of Symbolic Logicde.
Diagramas de Venn de enunciados
Como se mostró en la introducción, los diagramas de Venn pueden ser definidos por comunicaciones de sus elementos o por indicación de una característica común que los identifica unívocamente.
De ahí que haya dos géneros de diagramas de Venn: los que muestran elementos reunidos por líneas cerradas y los que sencillamente muestran enunciados o bien conceptos. Estos últimos son más interesantes porque permiten operar de manera abstracta y llegar a conclusiones más generales.
consultoria marketing online madrid siguientes diagramas del segundo tipo muestran los resultados de 4 operaciones básicas con conjuntos utilizando el código del semáforo de 2 colores.
Como se desprende de las igualdades, con las 2 primeras operaciones (
negacióny
conjunción), es posible hacer las otras dos (
disyuncióny
sustracción).
El código de dos colores puede ser interpretado en el sistema binario de numeración: rojo = 0; verde = 1. A los resultados de las operaciones se los puede entonces digitalizar. Y a los términos que participan de las operaciones, también. De este modo, las operaciones con conjuntos se convierten en operaciones con números.
Diagramas de Venn y cantidad de definiciones
Los siguientes diagramas muestran la cantidad de regiones en que queda dividido el conjunto universal con una, dos y 3 definiciones.
Entre los colores se cuenta el gris, que en todos los casos corresponde a los elementos que no caen en ninguna definición.
Diagrama de un conjunto
Tiene sólo 2 regiones: la de los elementos que responden a la definición
Ay la de los que se oponen a ella.
Diagrama de 2 conjuntos
Tiene cuatro regiones. Considérese el siguiente ejemplo: el conjunto
Aes el de los animales bípedos y el conjunto
Bes el de los animales que pueden volar. El área donde las dos zonas se superponen contiene por lo tanto a todos los animales que, al mismo tiempo, son bípedos y pueden volar. En resumen:
A(regiones amarilla y verde): animales bípedos,
B(regiones azul y verde): animales que pueden volar,
Ay
B(región verde): animales bípedos que pueden volar,
Ay no
B(región amarilla): animales bípedos que no pueden volar,- no
Ay
B(región azul): animales no bípedos (que no tienen dos patas) que pueden volar, - no
Ay no
B(región gris): animales no bípedos que no pueden volar,
Ao
B(regiones amarilla, azul y verde): animales bípedos o que pueden volar.
Los pingüinos, que tienen dos patas y no pueden volar, están en la región amarilla; los mosquitos, que tienen seis patas y pueden volar, están en la región azul; los loros, que tienen dos patas y pueden volar, están en la región verde; las ballenas, que no tienen patas ni pueden volar, están en la región gris.
Diagrama de tres conjuntos
Tienen 8 regiones. Los diagramas de 3 conjuntos fueron los más utilizados por Venn en toda su obra. Un ejemplo de aplicación podría ser el siguiente: dado un grupo de personas,
Aes el conjunto de las de sexo masculino,
Bel conjunto de las mayores de 18 años y
Cel conjunto de las que trabajan. De este modo, la región verde sería la de las personas de sexo masculino, mayores de 18 años, que no trabajan.
Diagramas de más de tres conjuntos
La dificultad de representar más de 3 conjuntos mediante diagramas de Venn es evidente. Venn sentía afición por los diagramas de más de tres conjuntos, a los que definía como "figuras simétricas, elegantes en sí mismas". A lo largo de su vida, diseñó múltiples representaciones usando elipses, y dejó indicaciones para la construcción de diagramas con cualquier cantidad de curvas, partiendo del diagrama de 3 círculos.
Diagramas de Edwards
Anthony William Fairbank Edwards planteó diagramas para más de 3 conjuntos, proyectando el diagrama sobre una esfera. 3 conjuntos pueden ser representados fácilmente tomando tres hemisferios en ángulos rectos (
x= 0,
y= 0 y
z= 0). Un cuarto conjunto puede ser representado tomando una curva similar a la juntura de una pelota de tenis que suba y baje alrededor del ecuador. Los conjuntos resultantes pueden ser proyectados nuevamente sobre el plano para mostrar diagramas de tipo engranaje, con cantidades cada vez mayores de dientes. Edwards ideó estos diagramas mientras diseñaba la ventana acristalada en memoria de Venn que hoy adorna el comedor del Caius College.
Otros diagramas
Los diagramas de Edwards son topológicamente equivalentes a los diagramas diseñados por Branko Grünbaum, que se basan en la intersección de polígonos con cantidades crecientes de lados.
ideó diagramas similares de
nconjuntos utilizando curvas senoidales con ecuaciones del tipo
y= sen(dos
i
x)/2
i
, 0 ≤ i ≤
n– 2. Por su parte,diseñó un diagrama de cinco conjuntos.
Otras representaciones
A continuación se hace referencia a representaciones relacionadas con los diagramas de Venn.
Líneas de Leibniz
Las líneas de Leibniz fueron las primeras representaciones de conceptos lógicos. Leibniz también representó los conceptos con círculos, pero prefería las líneas.
Círculos de Euler
Los círculos de Euler preceden históricamente a los diagramas de Venn y en ciertas aplicaciones son todavía usados.
La diferencia entre los diagramas de Euler y de Venn se observa sobre todo en las relaciones de inclusión y de disyunción.
Los diagramas de Venn muestran la topología del sistema sin que sea preciso alterar la posición relativa de los conjuntos, a costa de introducir una nueva convención: el sombreado de las zonas vacías.
Mapas de Karnaugh
Los mapas de Karnaugh o diagramas de Veitch son una representación visual de expresiones del.
Gráficos de Peirce.
Los gráficos desonque incluyen información sobre aseveraciones existenciales, disyuntivas, de probabilidades y otras relaciones.
Véase también
Referencias
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Enlaces externos
- : Lecturas sobre exclusión y significación.
- : Conceptos y ejemplos relacionados con el diagrama de Venn.
- : Programa que deja a los alumnos explorar la notación de la teoría de conjuntos sombreando diagramas.
- : Programa de creación de gráficos con licencia GPL que produce múltiples códigos, incluyendo LaTeX, Poscript Encapsulado y PDF.
- : Programa de uso en línea para la creación de diagramas de tres conjuntos con áreas proporcionales.
